The study of differential equations arises naturally when dealing with geometric problems, such as the study of curved surfaces, but also in the study of spaces of functions, such as the set of functions defined on a two or three dimensional disk with square-integrable derivative.

Il nostro progetto riguarda le equazioni differenziali che nascono nei campi della geometria e del calcolo delle variazioni.

Nella parte geometrica del progetto studieremo la forma delle superfici tridimensionali con Q-curvatura prescritta. La Q-curvatura è un modo di misurare quanto una data superficie si discosta dall'essere piatta. In tre dimensioni l'equazione che descrive questa curvatura è non locale, nel senso che le sue soluzioni in un dato punto P non dipendono solamente dalla forma della superficie vicino a P, bensì anche dalla forma della superficie in punti lontani da P.

Ci aspettiamo di essere in grado di comprendere, tra le altre cose, quali sono le superfici tridimensionali aventi Q-curvatura costante. Questo è un passo fondamentale per la comprensione delle superfici aventi Q-curvatura arbitraria.

Collegata a questo problema è l'esistenza di funzioni ottimali nell'immersione di Moser-Trudinger, ovvero l'immersione di funzioni la cui derivata è sufficientemente integrabile nello spazio di funzioni la cui esponenziale è integrabile. Sovente queste funzioni ottimali possono essere usate per costruire superfici con Q-curvatura costante e questo fatto ci permette di usare i risultati geometrici del nostro progetto per comprendere questioni di analisi funzionale legate alla suddetta immersione.